Considere a curva definida por y = 3x2 no intervalo [0, 10]. O ponto desta curva que mais se aproxima da reta y = 3x - 10 tem abscissa igual a

Gabarito

A

Comentário do professor

Os pontos da curva são \((x,3x^2)\). A reta \(y=3x-10\) escrita em forma geral é \(3x-y-10=0\).

A distância do ponto à reta é \(d=\dfrac{|3x-3x^2-10|}{\sqrt{10}}\). Como o denominador é constante, minimizar \(d\) equivale a minimizar o módulo do numerador \(f(x)=3x-3x^2-10\).

Note que \(f(x)=-3x^2+3x-10\) é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de \(x^2\) negativo) e não tem raízes reais (\(\Delta<0\)), logo \(f(x)<0\) sempre. Assim \(|f(x)|=-f(x)\) e seu mínimo ocorre quando \(f(x)\) atinge o máximo, isto é, no vértice.

O \(x\)-do vértice é \(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2(-3)}=\dfrac{1}{2}\). Portanto a abscissa pedida é \(0{,}5\).