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Questão FC236067

Os coeficientes da série de Fourier do sinal \(x(t)=1+ \sin Ω_0t+ \cos (2 Ω_0t+ \large{\pi \over 3})\) são

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2010

Os coeficientes da série de Fourier do sinal 

 

\(x(t)=1+ \sin Ω_0t+ \cos (2 Ω_0t+ \large{\pi \over 3})\) são 

 

  1.  \(a_{-2}=\large{e^{-i \pi/3} \over 2}\); \(a_{-1}=-\large{i \over 2}\); \(a_0=1\); \(a_1=-\large{i \over 2}\); \(a_2=-{\large{e^{i \pi/3} \over 2}}\)
  2.  \(a_{-2}={\large{e^{-i \pi/3} \over 2}}; a_{-1}=\large{i \over 2}; a_0=1; a_1=-\large{i \over 2}; a_2=\large{e^{i \pi/3} \over 2}\)
  3.  \(a_{-2}=\large{e^{-i \pi/3} \over 2}\); \(a_{-1}=-\large{i \over 2}\); \(a_0=1\); \(a_1=\large{i \over 2}\); \(a_2=-\large{e^{i \pi/3} \over 2}\)
  4.  \(a_{-2}=\large{1 \over 2}\); \(a_{-1}=-\large{i \over 2}\); \(a_0=1\); \(a_1=\large{i \over 2}\); \(a_2=-\large{1 \over 2}\)
  5.  \(a_{-2}=\large{1 \over 2}\); \(a_{-1}=-\large{i \over 2}\); \(a_0=0\); \(a_1=\large{i \over 2}\); \(a_2=-\large{1 \over 2}\)
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Gabarito

B

Comentário do professor

Queremos os coeficientes \(a_k\) da expansão \(x(t)=\sum_k a_k e^{ik\Omega_0 t}\). Usamos as identidades exponenciais do seno e cosseno.

Seno: \(\sin(\Omega_0 t)=\dfrac{e^{i\Omega_0 t}-e^{-i\Omega_0 t}}{2i}\). Assim \(a_1=\dfrac{1}{2i}=-\dfrac{i}{2}\) (pois \(1/i=-i\)) e \(a_{-1}=-\dfrac{1}{2i}=\dfrac{i}{2}\).

Cosseno deslocado: \(\cos(2\Omega_0 t+\tfrac{\pi}{3})=\dfrac{e^{i(2\Omega_0 t+\pi/3)}+e^{-i(2\Omega_0 t+\pi/3)}}{2}\). Resulta \(a_2=\dfrac{e^{i\pi/3}}{2}\) e \(a_{-2}=\dfrac{e^{-i\pi/3}}{2}\).

O termo constante \(1\) fornece \(a_0=1\). Portanto: \(a_{-2}=e^{-i\pi/3}/2,\; a_{-1}=i/2,\; a_0=1,\; a_1=-i/2,\; a_2=e^{i\pi/3}/2\).

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