A aproximação da expressão \(f(x)-\ell n(1+x)\), por um polinômio de Taylor de segundo grau em x = 0, é dada por

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Queremos o polinômio de Taylor de grau 2 de \(f(x)=\ln(1+x)\) centrado em 0 (série de Maclaurin), isto é a aproximação até termos quadráticos: \(f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2}x^2\).

Calcule as derivadas: \(f'(x)=\dfrac{1}{1+x}\) e \(f''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}\). Avaliando em 0: \(f(0)=\ln1=0\), \(f'(0)=1\), \(f''(0)=-1\).

Substituindo na fórmula truncada obtém-se \(0+1\cdot x+\dfrac{-1}{2}x^2\), ou seja \(x-\dfrac{x^2}{2}\).

Portanto a expressão correta é \(x-\dfrac{x^2}{2}\), válida como aproximação local (próxima a \(x=0\)) com resto da ordem \(O(x^3)\).