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Questão FC236069

O cálculo da integral \(∫\large{tdt \over \sqrt{t+1}}\) resulta em

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2010

O cálculo da integral \(∫\large{tdt \over \sqrt{t+1}}\) resulta em

  1.  \({\large{1 \over 3}}\sqrt{(t+1)^3}-2 \sqrt{(t+1)}+C\)
  2.  \({\large{2 \over 3}}\sqrt{(t+1)^3}-2 \sqrt{(t+1)}+C\)
  3.  \(\sqrt{(t+1)^3}+C\)
  4.  \({\large{1 \over 3}}\sqrt{(t+1)}+C\)
  5.  \({\large{1 \over 3}}\sqrt{(t+1)^3}+C\)
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Gabarito

B

Comentário do professor

Para calcular \( \displaystyle\int \dfrac{t\,dt}{\sqrt{t+1}} \) fazemos a substituição \(x=t+1\).

Então \(dt=dx\) e \(t=x-1\), logo a integral vira \( \displaystyle\int \dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\,dx\).

Separando termos: \( \displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x}}\,dx - \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \displaystyle\int x^{1/2}\,dx - \displaystyle\int x^{-1/2}\,dx\).

Pela integração de potências: \( \dfrac{x^{3/2}}{3/2} - \dfrac{x^{1/2}}{1/2} + C = \dfrac{2}{3}x^{3/2} - 2x^{1/2} + C\).

Voltando à variável original (\(x=t+1\)): \( \dfrac{2}{3}\sqrt{(t+1)^3} - 2\sqrt{t+1} + C\), que é a resposta correta.

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