A transformada inversa de Fourier de \(X(Ω)=\pi \delta(Ω+3 \pi)+ \pi \delta (Ω-3 \pi)-2 \pi \delta(Ω+7 \pi)\)é

Gabarito

A

Comentário do professor

Fórmula da transformada inversa: \(x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\Omega)e^{j\Omega t}\,d\Omega\).

Os termos \(\pi\delta(\Omega+3\pi)+\pi\delta(\Omega-3\pi)\) formam um par de deltas simétricos. Aplicando a fórmula: \(x_1(t)=\dfrac{\pi}{2\pi}\big(e^{-j3\pi t}+e^{j3\pi t}\big)=\cos(3\pi t)\).

O termo \(-2\pi\delta(\Omega+\pi)\) é uma delta deslocada. Sua inversa é \(x_2(t)=\dfrac{-2\pi}{2\pi}e^{-j\pi t}=-e^{-j\pi t}\).

Pela linearidade, somam-se as contribuições: \(x(t)=\cos(3\pi t)-e^{-j\pi t}\), que é a alternativa apresentada.