Sabendo-se que \(f(x)=2x\cdot cos\, x\), qual é o valor de \(lim_{x \rightarrow \pi}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}\)?

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Queremos calcular o limite \( \displaystyle \lim_{x\to\pi}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} \). Note que isso é, por definição, a derivada de \(f\) no ponto \(\pi\): \(f'(\pi)=\lim_{x\to\pi}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}\).

Como \(f(x)=2x\cos x\) é um produto, aplicamos a regra do produto:

\(f'(x)=\frac{d}{dx}(2x)\cdot\cos x + 2x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) =2\cos x + 2x(-\sin x)=2\cos x-2x\sin x\).

Agora avaliaremos em \(x=\pi\): \(\cos\pi=-1\) e \(\sin\pi=0\), então

\(f'(\pi)=2(-1)-2\pi\cdot0=-2\).

Portanto, o limite vale \(\boxed{-2}\), correspondendo à alternativa indicada.