A soma a seguir \(\sum\limits^{n}_{i=1}(1/2)^{2i}\), \(i ∈ N *\) converge para

Gabarito

D

Comentário do professor

A soma considerada, entendida como \(n \to \infty\), forma uma PG infinita cujos termos são \( \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}, \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}, \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6},\dots\).

O primeiro termo é \(a_1=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}\) e a razão é \(q=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}\).

Como \(|q|<1\), a soma converge e podemos aplicar a fórmula da soma da PG infinita: \(S=\dfrac{a_1}{1-q}\).

Substituindo, \(S=\dfrac{\tfrac{1}{4}}{1-\tfrac{1}{4}}=\dfrac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{1}{3}.\)

Portanto, a soma converge para \(\tfrac{1}{3}\), que corresponde à alternativa correta.