Sejam u e v vetores unitários do R3, tais que 2u–v e u–2v sejam ortogonais. O valor do produto escalar u .v é

Gabarito

D

Comentário do professor

Como os vetores \(2u-v\) e \(u-2v\) são ortogonais, seu produto escalar é nulo: \((2u-v)\cdot(u-2v)=0\).

Expandindo o produto escalar obtemos \((2u-v)\cdot(u-2v)=2(u\cdot u)-4(u\cdot v)-(v\cdot u)+2(v\cdot v)\).

Usando a comutatividade do produto escalar (\(u\cdot v=v\cdot u\)) e as normas de vetores unitários (\(\|u\|^2=\|v\|^2=1\)), a expressão vira \(2-5(u\cdot v)+2=0\).

Assim, \(4-5(u\cdot v)=0\), logo \(u\cdot v=\dfrac{4}{5}\).

Portanto, o valor do produto escalar é 4/5.