A função f: R \(\to\) R satisfaz a equação diferencial f ’(x) = x f(x) para todo x real. Se f(1) = 2, então o valor de f(–1) é

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Seja \(y=f(x)\). A equação \(f'(x)=x f(x)\) é uma equação de primeira ordem e separável, pois podemos escrever as variáveis em lados opostos.

Separando e integrando: \(\dfrac{dy}{y}=x\,dx\) e \(\displaystyle\int \dfrac{dy}{y}=\int x\,dx\). Da integração obtemos \(\ln|y|=\dfrac{x^2}{2}+C\).

Exponenciando vem \(y=C e^{\frac{x^2}{2}}\). Usando a condição inicial \(f(1)=2\) tem-se \(2=C e^{1/2}\), logo \(C=2e^{-1/2}\).

Portanto \(f(x)=2e^{\frac{x^2-1}{2}}\). Avaliando em \(x=-1\): o expoente é \(\frac{(-1)^2-1}{2}=0\), daí \(f(-1)=2e^0= \)\2.