A equação da reta tangente à curva de equação \(2xy^2 – x^3y = 1\) no ponto (1, 1) é

Gabarito

A

Comentário do professor

Como a curva é dada implicitamente, aplicamos a derivação implícita, tratando \(y\) como função de \(x\) (\(y=f(x)\)).

Derivando \(2xy^2 - x^3y = 1\) e usando a regra do produto e a cadeia, obtemos: \(2y^2 +4xyy' - (3x^2y + x^3y') = 0\).

Agrupando os termos com \(y'\): \(y'(4xy - x^3) = 3x^2y - 2y^2\).

Para o ponto \((1,1)\) substituímos \(x=1\) e \(y=1\): \(y'(4-1)=3-2\), logo \(y'=\tfrac{1}{3}\).

Esse valor é o coeficiente angular da reta tangente. Usando a forma ponto-declive: \(y-1=\tfrac{1}{3}(x-1)\).

Simplificando chega-se à equação da tangente: \(y=\tfrac{1}{3}x+\tfrac{2}{3}\), conforme a alternativa correta.