A matriz da transformação linear \(T:R^3 \to R^3\) é \(\begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\1& -1& -1 \\2 & 3 &1 \end{bmatrix}\) A imagem de T é

Gabarito

D

Comentário do professor

A imagem de \(T\) é o conjunto dos vetores \((x',y',z')\) obtidos por \(A(x,y,z)\). Da multiplicação \(A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) obtemos o sistema

\(x'=x+4y+2z,\quad y'=x-y-z,\quad z'=2x+3y+z\).

Subtraindo a segunda equação da primeira vem \(x'-y'=5y+3z\). Por outro lado, \(z'-2y'=2x+3y+z-2(x-y-z)=5y+3z\).

Igualando as expressões: \(x'-y'=z'-2y'\), que simplifica para a equação linear

\(x'+y'-z'=0\).

Logo, a imagem é o conjunto dos vetores de \(\mathbb{R}^3\) que satisfazem essa equação — um plano (subespaço de dimensão 2 passando pela origem).