Sobre a função f: R \(\to\) R2 definida por f(x, y) = 6xy – x3 – 8y3, tem-se que

Gabarito

B

Comentário do professor

Para analisar o ponto \(\left(1,\tfrac12\right)\) calculamos as derivadas parciais: \(\partial f/\partial x=6y-3x^2\) e \(\partial f/\partial y=6x-24y^2\). Igualando a zero e resolvendo obtemos \(x=4y^2\) e \(x^2=2y\), que levam a \(y=\tfrac12\) e, então, \(x=1\); assim \(\left(1,\tfrac12\right)\) é um ponto crítico.

Calculamos as segundas derivadas: \(\;f_{xx}=-6x,\;f_{xy}=6,\;f_{yy}=-48y.\)

O determinante do Hessiano é \(H= f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 =288xy-36\). Avaliando em \(\left(1,\tfrac12\right)\): \(H=144-36=108>0\).

Como \(H>0\) e \(f_{xx}\big|_{(1,\tfrac12)}=-6<0\), conclui-se que o ponto é um máximo relativo. Portanto, f tem um máximo relativo em \(\left(1,\tfrac12\right)\).