Uma função real y = f(x) satisfaz a equação diferencial y’+ xy2 = 0. Se f(1) = 1 então f(2) é igual a

Gabarito

B

Comentário do professor

Temos a equação diferencial \(y'+xy^{2}=0\), uma equação de variáveis separáveis. Reescrevendo: \(\dfrac{dy}{dx}=-x y^{2}\).

Separamos as variáveis: \(\dfrac{dy}{y^{2}}=-x\,dx\).

Integrando ambos os lados: \(\displaystyle \int y^{-2}dy=\int -x\,dx\Rightarrow -\dfrac{1}{y}=-\dfrac{x^{2}}{2}+C\).

Isolando \(y\): \(\dfrac{1}{y}=\dfrac{x^{2}}{2}+C_{1}\), logo \(y=\dfrac{1}{\tfrac{x^{2}}{2}+C_{1}}=\dfrac{2}{x^{2}+C}\) (constantes reescaladas).

Usando a condição inicial \(f(1)=1\): \(1=\dfrac{2}{1+C}\Rightarrow C=1\). Assim \(f(x)=\dfrac{2}{x^{2}+1}\).

Portanto \(f(2)=\dfrac{2}{2^{2}+1}=\dfrac{2}{5}\).