O valor de \(\int\limits^1_0 \text{ xe}^{\text{x}^2} \text{ dx}\) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Para calcular \( \displaystyle \int_0^1 xe^{x^2}\,dx \) usamos a técnica da substituição. Observe que a derivada de \(x^2\) é proporcional a \(x\), o que indica substituição direta.

Faça \(u=x^2\). Então \(du=2x\,dx\), ou seja \(x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du\). Os limites ficam \(u(0)=0\) e \(u(1)=1\).

A integral transforma-se em \( \tfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 e^{u}\,du\).

Integrando: \( \tfrac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_0^1=\tfrac{1}{2}(e^1-e^0)=\tfrac{1}{2}(e-1)\).

Portanto, o valor da integral é \(\boxed{\tfrac{e-1}{2}}\).