O valor de \(\underset{x \to 0}{lim}(1+ 2x) ^{\dfrac{3}{x}}\)

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Usamos o limite fundamental \( \displaystyle \lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e\), aplicável a pequenas variações \(u\).

Faça a substituição \(u=2x\). Note que \( \displaystyle (1+2x)^{\frac{3}{x}} = \left[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^{6}\), pois \(\frac{1}{2x}\cdot 6=\frac{3}{x}\).

Ao tomar o limite quando \(x\to0\) obtemos \( \displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=e\). Portanto

\(\displaystyle \lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{3}{x}} = e^{6}.\)