O resultado de \(\textstyle \int_{1}^{e}\dfrac{Inx}{x^2}dx\) é

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Use integração por partes: \( \int u\,dv = uv - \int v\,du\). Escolha \(u=\ln x\) e \(dv=x^{-2}dx\), assim \(du=\dfrac{1}{x}dx\) e \(v=-\dfrac{1}{x}\).

Então \( \displaystyle \int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^2}dx = \Big[-\frac{\ln x}{x}\Big]_1^e - \int_{1}^{e}\Big(-\frac{1}{x^2}\Big)dx = -\frac{1}{e} + \int_{1}^{e}\frac{1}{x^2}dx.\)

Calculando a integral restante, \(\int_{1}^{e}\frac{1}{x^2}dx = \Big[-\frac{1}{x}\Big]_1^e = 1-\frac{1}{e}.\)

Somando os termos: \(-\frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{e} = 1-\frac{2}{e}\). Portanto, o resultado é 1 - 2/e.