O valor de \(\underset{n \to \infty}{lim}\biggl(\dfrac{1^3}{n^4}+\dfrac{2^3}{n^4}+\dfrac{3^3}{n^4}+...+\dfrac{n^3}{n^4}\biggl)\)

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Usamos a expressão conhecida para a soma dos cubos: \(\sum_{k=1}^n k^3 = \Big(\dfrac{n(n+1)}{2}\Big)^2\). Fórmula essencial para simplificar a soma dada.

Substituindo na soma temos \(\sum_{k=1}^n \dfrac{k^3}{n^4} = \dfrac{\big(\dfrac{n(n+1)}{2}\big)^2}{n^4} = \dfrac{(n+1)^2}{4n^2}\).

Agora calculamos o limite: \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^2}{4n^2} = \dfrac{1}{4}\cdot\lim_{n\to\infty}\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 1.\)

Portanto o valor do limite é \(\dfrac{1}{4}\), correspondendo à alternativa correta.