A representação abaixo é uma parte do gráfico da curva x2 + 2y3 + xy2 = 4. A derivada desta curva no ponto (1,1) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Aplicamos a derivação implícita em relação a \(x\) na equação \(x^2+2y^3+xy^2=4\).

Derivando termo a termo: \(\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x\); \(\dfrac{d}{dx}(2y^3)=6y^2\,\dfrac{dy}{dx}\); e para \(xy^2\) usamos a regra do produto, obtendo \(\dfrac{d}{dx}(xy^2)=y^2 + 2xy\,\dfrac{dy}{dx}\).

Assim, a derivada implícita é \(2x + 6y^2\,\dfrac{dy}{dx} + y^2 + 2xy\,\dfrac{dy}{dx}=0\). Agrupando os termos com \(\dfrac{dy}{dx}\): \((6y^2+2xy)\dfrac{dy}{dx} + (2x+y^2)=0\).

Avaliado em \((1,1)\): \((6+2)\dfrac{dy}{dx} + (2+1)=0\), isto é \(8\dfrac{dy}{dx}+3=0\). Portanto \(\dfrac{dy}{dx}=\)

\(-\dfrac{3}{8}\).