São dados os vetores v1 = (1, 2, -3), v2 (2, -1, 4) e v3 = (7, 4, k). Se o conjunto {v1, v2, v3} é linearmente dependente, o valor de k é

Gabarito

B

Comentário do professor

Como o conjunto é linearmente dependente, existe uma combinação linear de \(v_1\) e \(v_2\) que gera \(v_3\). Assim, escrevemos \(v_3 = c_1v_1 + c_2v_2\).

Das primeiras duas coordenadas obtemos o sistema: \(7 = c_1 + 2c_2\) e \(4 = 2c_1 - c_2\).

Da segunda equação isolamos \(c_2 = 2c_1 - 4\) e substituímos na primeira: \(7 = c_1 + 2(2c_1 - 4) = 5c_1 - 8\), logo \(5c_1 = 15\) e \(c_1 = 3\).

Com \(c_1 = 3\) temos \(c_2 = 2\). Finalmente, a terceira coordenada impõe \(k = -3c_1 + 4c_2 = -3\cdot3 + 4\cdot2 = -1\).

Portanto, \(k =\) -1.