Considere o operador A no \(\mathbb{R}^2\) definido por A(x,y) = (x + 2y, 3x + 2y). Um dos seus autovetores é

Gabarito

D

Comentário do professor

Seja \(A(x,y)=(x+2y,\,3x+2y)\). Um vetor não nulo \(v=(x,y)\) é autovetor se existe \(\lambda\) tal que \(Av=\lambda v\).

Na base canônica a matriz de \(A\) é \(M=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}\). Os autovalores vêm de \(\det(M-\lambda I)=0\), o que leva a \(\lambda^2-3\lambda-4=0\) e às soluções \(\lambda=4\) e \(\lambda=-1\).

Tomando \(\lambda=4\) e resolvendo \((M-4I)v=0\) obtemos o sistema \(\begin{cases}x+2y=4x\\3x+2y=4y\end{cases}\), que reduz a \(2y=3x\), isto é \(y=\tfrac{3}{2}x\).

Escolhendo \(x=2\) obtemos \(y=3\), logo \(v=(2,3)\) satisfaz \(Av=4v\) e portanto é um autovetor de \(A\).