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Questão FC236097

Considere a transformação linear A: \(\mathbb{R}^3→\mathbb{R}^4\) de forma que v = (2, -1,1) esteja no núcleo e que B = {(1, 2, -1, 0), (3, 0, 1, 2)} seja uma base de sua imagem. E

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2010

Considere a transformação linear A: \(\mathbb{R}^3→\mathbb{R}^4\) de forma que v = (2, -1,1) esteja no núcleo e que B = {(1, 2, -1, 0), (3, 0, 1, 2)} seja uma base de sua imagem. Então, A (3, 2,1) é igual a

  1. (10, 2, 2, 6)
  2. (10, 2, 6, 2)
  3. (2, 10, 2, 6)
  4. (2, 2, 6, 10)
  5. (6, 2, 10, 2)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Como \(v=(2,-1,1)\) está no núcleo, temos \(A(v)=0\). Podemos completar \(v\) a uma base de \(\mathbb{R}^3\); escolha \(e_1=(1,0,0)\) e \(e_2=(0,1,0)\).

Desejamos escrever \((3,2,1)\) nessa base: procuro \(a,b,c\) tais que \(a e_1 + b e_2 + c v = (3,2,1)\). Isso dá \( (a+2c,\; b-c,\; c)=(3,2,1)\).

Daqui vem \(c=1\), \(b=3\) e \(a=1\), logo \((3,2,1)=e_1+3e_2+v\).

Como \(B=\{(1,2,-1,0),(3,0,1,2)\}\) é uma base da imagem, atribuímos \(A(e_1)=(1,2,-1,0)\) e \(A(e_2)=(3,0,1,2)\). Pela linearidade:

\(A(3,2,1)=A(e_1)+3A(e_2)+A(v)=(1,2,-1,0)+3(3,0,1,2)+0=(10,2,2,6).\)

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