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Questão FC236098

Uma empresa planeja produzir dois tipos especiais de óleo que utilizam três tipos de matéria-prima de alto custo. A Tabela abaixo mostra a quantidade de matéria-prima consumida na

Programação Linear

CESGRANRIO · 2014

Uma empresa planeja produzir dois tipos especiais de óleo que utilizam três tipos de matéria-prima de alto custo. A Tabela abaixo mostra a quantidade de matéria-prima consumida na produção de cada tipo de óleo e a disponibilidade total de cada matéria-prima na semana prevista para a produção.


Considerando que tudo que é produzido é vendido, o lucro unitário por litro de óleo pesado é de R$ 5,00 e o do litro de óleo leve é de R$ 3,50.

 

Matéria-prima

Quantidade de matéria-prima utilizada na

produção de um litro de óleo (gramas)

Matéria-prima disponível na

semana de produção (kg)

x1 x2
P 10 8 8
Q 8 16 12
R - 15 10

 

Considerando o objetivo de maximizar o lucro, o modelo de programação linear adequado, apresentado na forma canônica, no qual x1 e x2 referem-se, respectivamente, aos óleos leve e pesado, é:

  1. max Z = 3,5x 1 + 5x 2     10x 1 + 8x 2 ≤ 8000     8x 1 + 16x 2 ≤ 12000     15x 2 ≤ 10000      x 1,x 2 ≥ 0
  2. max Z = 3,5x 1 + 5x 2     10x 1 + 8x 2 ≥ 8000     8x 1 + 16x 2 ≥ 12000     15x 2 ≥ 10000      x 1,x 2 > 0
  3. max Z = 3500x 1 + 5000x 2     10x 1 + 8x 2 = 8     8x 1 + 16x 2 = 12     15x 2 = 10      x 1,x 2 > 0
  4. max Z = 5x 1 + 3,5x 2     10x 1 + 8x 2 = 8     8x 1 + 16x 2 = 12     15x 2 = 10     x 1,x 2 ≥ 0
  5. max Z = 35x 1 + 50x 2     10x 1 + 8x 2 ≥ 8     8x 1 + 16x 2 ≥ 12     15x 2 ≥ 10     x 1,x 2 ≥ 0
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Gabarito

A

Comentário do professor

Variáveis de decisão: \(x_1\) = litros de óleo leve e \(x_2\) = litros de óleo pesado, ambos ≥ 0.

Conversão de unidades: dados da tabela estão em gramas por litro e disponibilidade em kg; convertemos kg para gramas (1 kg = 1000 g).

Função objetivo: como tudo é vendido, maximizamos o lucro total \(Z\): \( \max Z = 3{,}5x_1 + 5x_2\), onde os coeficientes são os lucros unitários (R$/litro).

Restrições (consumo de matéria‑prima em gramas):

\(10x_1 + 8x_2 \le 8000\) (matéria‑prima P, 8 kg = 8000 g).
\(8x_1 + 16x_2 \le 12000\) (matéria‑prima Q, 12 kg = 12000 g).
\(15x_2 \le 10000\) (matéria‑prima R, usada só no óleo pesado; 10 kg = 10000 g).

Esse sistema com função objetivo e desigualdades do tipo ≤, mais \(x_1,x_2\ge0\), é a forma canônica correta apresentada na alternativa.

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