Questão FC236100
Qual é a formulação original (primal) do problema de programação linear que possui a formulação dual apresentada acima?
Programação Linear
CESGRANRIO · 2014
Observe a formulação a seguir:
Max \(W=[y_1y_2y_3]{\begin{bmatrix}56\\-15\\36\end{bmatrix}}\)
Sujeito a:
\([y_1y_2y_3]{\begin{bmatrix}3\,\,6\\-2\,\,3\\3\,\,1\end{bmatrix}}\le{\begin{bmatrix}25\\18\end{bmatrix}};\,\,[y_1y_2y_3]\ge[0\,0\,0]\)
Qual é a formulação original (primal) do problema de programação linear que possui a formulação dual apresentada acima?
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\(Min\,Z=[y_1y_2y_3]{\begin{bmatrix}56\\-15\\36\end{bmatrix}}\,\,Sujeito\,a:[y_1y_2y_3]{\begin{bmatrix}3\,\,6\\-2\,\,3\\3\,\,1\end{bmatrix}}\ge{\begin{bmatrix}25\\18\end{bmatrix}};\,\,[y_1y_2y_3]\ge[0\,0\,0]\).
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\(Min\,Z=[y_1y_2y_3]{\begin{bmatrix}56\\15\\36\end{bmatrix}}\,Sujeito\,a:[y_1y_2y_3]\,{\begin{bmatrix}3\,\,6\\-2\,\,3\\3\,\,1\end{bmatrix}}\le{\begin{bmatrix}25\\18\end{bmatrix}};\,[y_1y_2y_3]\ge[0\,0\,0]\).
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Min Z = 56x 1 -15x 2 + 36x 3 Sujeito a 3x 1 -2x 2 ≥ 25 6x 1 +3x 2 ≥ 18 x 1,x 2 ≥ 0
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Min Z = 25x 1 + 18x 2 Sujeito a 3x1 + 6x2 ≥ 56 -2x 1 +3x 2 ≥ -15 3x 1 + x2 ≥ 36 x 1,x 2 ≥ 0
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Min Z = 25x 1 + 18x 2 Sujeito a 3x 1 + 6x 2 ≤ 56 2x 1 + 3x 2 ≤ 15 3x 1 + x 2 ≤ 36 x 1,x 2 ≥ 0
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Gabarito
D
Comentário do professor
Partindo da forma do dual: \(Max\ W=[y_1\ y_2\ y_3]\begin{bmatrix}56\\-15\\36\end{bmatrix}\) sujeito a \([y_1\ y_2\ y_3]\begin{bmatrix}3\ 6\\-2\ 3\\3\ 1\end{bmatrix}\le[25\ 18],\ [y]\ge0\).
Na teoria, o primal correspondente a um dual na forma \( \max B^Ty\) com \(A^Ty\le C,\ y\ge0\) é \(\min C^Tx\) sujeito a \(Ax\ge B,\ x\ge0\).
Identificando: \(B=[56\ -15\ 36]^T,\ C=[25\ 18]^T\) e \(A=\begin{bmatrix}3&6\\-2&3\\3&1\end{bmatrix}\). Assim o primal é
\( \min Z=25x_1+18x_2\)
Sujeito a:
\(3x_1+6x_2\ge56\)
\(-2x_1+3x_2\ge-15\)
\(3x_1+x_2\ge36\)
\(x_1,x_2\ge0\).
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