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Questão FC236105

Considerando-se que \(\alpha=24\), para qual valor de \(\beta\) o problema apresenta soluções múltiplas?

Programação Linear

CESGRANRIO · 2014

Considere as informações a seguir para responder à questão.


Considere o problema abaixo de Programação Linear:


Maximize: Z = 5*X1+ 4*X2
Sujeito a:
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
6* X1+ 4*X2 ≤ \(\alpha\)
\(\beta\)* X1+ 2*X2 ≤ 6

 

Considerando-se que \(\alpha=24\), para qual valor de \(\beta\) o problema apresenta soluções múltiplas?

  1. -5/2
  2. 0
  3. 5/4
  4. 5/2
  5. 1
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Gabarito

D

Comentário do professor

Para haver **soluções múltiplas** a reta da função objetivo deve ser **paralela** a uma restrição que seja ativa no ótimo. A equação da função objetivo \(Z=5x_1+4x_2=c\) tem declive \(-5/4\) (pois \(x_2=\tfrac{c}{4}-\tfrac{5}{4}x_1\)).

A segunda restrição \( \beta x_1+2x_2=6\) tem declive \(-\beta/2\). Igualando\-se os declives para obter paralelismo: \(-\beta/2=-5/4\) resulta em \(\beta=5/2\).

Com \(\beta=5/2\) os extremos do segmento da restrição são \((0,3)\) e \((12/5,0)\). Em ambos \(Z=5x_1+4x_2=12\), logo toda a aresta entre esses pontos é ótima, caracterizando **infinitas soluções ótimas**.

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