Qual é o valor máximo que \(\alpha\) pode assumir para que a base ótima para o problema de programação linear apresentado permaneça a mesma encontrada quando \(\alpha=24\)?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A base ótima para \(\alpha=24\) é o ponto de interseção das duas restrições ativas. Resolva o sistema \(6x_1+4x_2=\alpha\) e \(x_1+2x_2=6\):

Multiplicando a segunda por 6 e subtraindo, obtemos \(8x_2=36-\alpha\) e \(x_2=(36-\alpha)/8\). Assim \(x_1=6-2x_2=(\alpha-12)/4\).

Para que essa interseção permaneça no primeiro quadrante (base factível) é preciso \(x_2\ge0\) e \(x_1\ge0\), ou seja \( \alpha\le36\) e \(\alpha\ge12\). Como \(\alpha=24\) satisfaz isso, variando \(\alpha\) até 36 os dois básicos continuam não-negativos.

Além disso, compare a função objetivo nos vértices: no ponto de interseção \(Z=(3\alpha+12)/4\) e no eixo \(x_1\) temos \(Z=5\alpha/6\). A interseção é melhor sempre que \((3\alpha+12)/4\ge5\alpha/6\), o que reduz a \(\alpha\le36\).

Logo, o maior valor admissível é \(\alpha=36\), mantendo a mesma base ótima.