Qual o valor mínimo que \(\alpha\) pode assumir para que a base ótima para o problema de programação linear apresentado permaneça a mesma encontrada quando \(\alpha=24\)?

Gabarito

A

Comentário do professor

Para manter a mesma base ótima (interseção dos dois limitantes) quando \(\alpha=24\), calcule a solução da interseção geral: resolvendo \(x_1+2x_2=6\) e \(6x_1+4x_2=\alpha\) obtém-se

\(x_1=(\alpha-12)/4\), \quad \(x_2=(36-\alpha)/8\).

Para que essa solução seja viável precisamos de \(x_1\ge 0\) e \(x_2\ge0\), o que exige \(\alpha\ge12\) e \(\alpha\le36\). Além disso, compare o valor da função objetivo na interseção

\(Z_{int}=(3\alpha+12)/4\)

com os extremos \(x_1=0\) (máx \(Z=12\) para \(\alpha\ge12\)) e \(x_2=0\) (máx \(Z=5\alpha/6\) para \(\alpha\le36\)). As desigualdades \(Z_{int}\ge12\) e \(Z_{int}\ge5\alpha/6\) reduzem-se a \(\alpha\ge12\) e \(\alpha\le36\), respectivamente. Portanto, o menor valor de \(\alpha\) que preserva a base ótima é 12.