As funções côncavas e convexas desempenham um papel importante na programação não linear. Se todos os determinantes dos menores principais da matriz hessiana são não negativos para

Gabarito

A

Comentário do professor

A função é convexa.

Se \(f\) é duas vezes diferenciável num domínio convexo e a matriz Hessiana \(H(x)\) é semidefinida positiva para todo \(x\), então \(f\) é convexa em todo o domínio.

A razão é que, para qualquer direção \(v\), a segunda derivada direcional satisfaz \(v^T H(x) v \ge 0\). Isso implica que a expansão de Taylor de segunda ordem em torno de \(x\),

\(f(x+v)=f(x)+\nabla f(x)^T v+\tfrac12 v^T H(\xi) v\),

tem o termo quadrático não negativo, garantindo que \(f\) não curva para baixo. Equivalentemente, vale a propriedade do plano tangente: \(f(y)\ge f(x)+\nabla f(x)^T(y-x)\) para todos \(x,y\), caracterizando a convexidade.