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Questão FC236115

Considere o seguinte problema de Programação Linear: Maximize: Z = x1 + 2x2 Sujeito a x1 + 2x2 ≤ 8 -x1 + x2 ≤ 16 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 O dual desse problema é

Programação Linear

CESGRANRIO · 2012

Considere o seguinte problema de Programação Linear:


Maximize: Z = x1 + 2x2


Sujeito a


x1 + 2x2 ≤ 8
-x1 + x2 ≤ 16
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0


O dual desse problema é

  1. Max Z = 8y1 + 16y2      Sujeito a      y1 - y2 ≥ 1      2y1 + y2 ≥ 2      y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0
  2. Max Z = y1 + 2y2      Sujeito a      y1 - y2 ≥ 8      2y1 + y2 ≥ 16      y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0
  3. Min Z = 8y1 + 16y2      Sujeito a      y1 - y2 ≥ 1      2y1 + y2 ≥ 2      y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0
  4. Min Z = y1 + 2y2      Sujeito a      y1 - y2 ≥ 8      2y1 + y2 ≥ 16      y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0
  5. Min Z = y1 + 2y2      Sujeito a      y1 - y2 ≤ 8      2y1 + y2 ≤ 16      y1 ≥ 0 , y2 ≥ 0
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

O enunciado apresenta um problema primal de maximização com restrições do tipo ≤ e variáveis \(x_1,x_2\ge0\). O dual resultante é, portanto, um problema de minimização cujos coeficientes da função objetivo são os termos independentes (RHS) das restrições do primal.

Assim obtemos Min \(Z\) = \(8y_1+16y_2\), pois 8 e 16 são os RHS do primal. Cada variável primal gera uma restrição dual: os coeficientes dessas restrições vêm das colunas da matriz do primal, e o sinal é “≥” porque o primal é de maximização com restrições ≤. Daí as desigualdades

\(1\cdot y_1 + (-1)\cdot y_2 \ge 1\) (para \(x_1\))
\(2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 \ge 2\) (para \(x_2\)).

Por fim, como as restrições do primal são ≤, as variáveis dual satisfazem \(y_1,y_2\ge0\), completando o dual apresentado.

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