Questão FC236127
Considere o Caso 2 a seguir para responder a questão. CASO 2 A Petrobras vai lançar mais um produto inovador: trata-se do Podium AD, um aditivo que limpa os bicos injetores de moto
Programação Linear
CESGRANRIO · 2010
Considere o Caso 2 a seguir para responder a questão.
CASO 2
A Petrobras vai lançar mais um produto inovador: trata-se do Podium AD, um aditivo que limpa os bicos injetores de motores de automóveis. O Podium AD está disponível no mercado em duas embalagens: limpeza leve (250 ml) e limpeza pesada (1.000 ml), ambas com duas opções de formulação: com ou sem solução detergente, usada para a limpeza do motor como um todo. Para fabricar o Podium AD sem solução detergente, é necessária a combinação de três ingredientes: água destilada, etanol e o aditivo D+. Para o produto com solução detergente, um quarto ingrediente – detergente D+ – é necessário numa proporção de, no mínimo, 3% e, no máximo, 5% por litro de produto. Na sua preparação, não existe perda volumétrica, isto é, a quantidade de litros fabricados é exatamente igual à soma de litros das matérias-primas utilizadas. A quantidade mensal disponível e os custos dos ingredientes são mostrados na Tabela I.
Tabela I
| Matéria-Prima | Quantidade Disponível | Custo por Litro |
| Aditivo D+ | 60.000 litros | R$ 6,00 |
| Etanol | 45.000 litros | R$ 1,90 |
| Água destilada | 80.000 litros | R$ 0,20 |
| Detergente D+ | 40.000 litros | R$ 0,90 |
Existem também custos de fabricação. As máquinas utilizadas no processo apresentam uma capacidade suficiente para suprir a demanda prevista. Existe um custo de produção variável igual a R$ 1,00 por litro de aditivo sem solução detergente e R$ 1,60 por litro de aditivo com solução detergente. A mão de obra é remunerada por produção, tendo um custo de R$ 3,00 por litro de Podium AD, independente do tipo de formulação. Cada embalagem para o produto Limpeza Leve custa R$0,40 e para a Limpeza Pesada, R$0,60.
A administração da Petrobras espera que o produto seja um sucesso de vendas. Através de pesquisas de mercado, foram estimados a demanda e os preços de cada produto que são mostrados na Tabela II.
Tabela II
| Produto | Preço | Demanda de unidades |
| 1 - Limpeza leve com solução detergente | R$ 22,00 | 30.000 |
| 2 - Limpeza leve sem solução detergente | R$ 20,00 | 40.000 |
| 3 - Limpeza pesada com solução detergente | R$ 65,00 | 10.000 |
| 4 - Limpeza pesada sem solução detergente | R$ 60,00 | 15.000 |
Considere que tudo que for produzido será vendido e que as variáveis de decisão e auxiliares na modelagem de um problema de programação linear são as seguintes:
\(X_{ij}=\) quantidade de litros da matéria-prima no produto j
\(N_j=\) nº de unidade do produto produzidos/vendidos
\(Q_i=\) quantidade de litros da matéria-prima utilizados na produção de todos os produtos
\(i= \begin{cases}1- Aditivo \, D+ \\ 2- Etanol \\ 3- Água \, destilada \\ 4- Detegente \, D+ \end{cases}\)
\(j= \begin{cases}1- Limpeza \, Leve \, com \, detergente \\ 2- Limpeza \, Leve \, sem \, detergente \\ 3- Limpeza \, Pesada \, com \, detergente \\ 4- Limpeza\, Pesada \, sem \, detergente \end{cases}\)
O conjunto de equações que representam as definições das variáveis auxiliares \(N_j\) é dado por
- \(\begin{matrix}N_1={\large{X_{11}+X_{21}+X_{31}+X_{41} \over 0,25}}\\ N_2={\large{X_{12}+X_{22}+X_{32} \over 0,25}} \\ N_3=X_{13}+X_{23}+X_{33}+X_{43} \\ N_4=X_{14}+X_{24}+X_{34} \end{matrix}\)
- \(\begin{matrix}N_1=X_{11}+X_{21}+X_{31}+X_{41} \\N_2=X_{12}+X_{22}+X_{32} \\ N_3=X_{13}+X_{23}+X_{33}+X_{43} \\ N_4=X_{14}+X_{24}+X_{34} \end{matrix}\)
- \(\begin{matrix}N_1={\large{X_{11}+X_{21}+X_{31}+X_{41} \over 4}}\\N_2={\large{X_{12}+X_{22}+X_{32}\over 4}} \\ N_3=X_{13}+X_{23}+X_{33}+X_{43} \\ N_4=X_{14}+X_{24}+X_{34} \end{matrix}\)
- \(\begin{matrix} N_1={\large{X_{11}+X_{12}+X_{13}+X_{14} \over 0,25}}\\ N_2={\large{X_{21}+X_{22}+X_{23} \over 0,25}} \\ N_3=X_{31}+X_{32}+X_{33}+X_{34} \\ N_4=X_{41}+X_{42}+X_{43} \end{matrix}\)
- \(\begin{matrix} N_1={\large{X_{11}+X_{12}+X_{13}+X_{14} \over 4}} \\ N_2={\large{X_{21}+X_{22}+X_{23} \over 4}} \\ N_3=X_{31}+X_{32}+X_{33}+X_{34}\\ N_4=X_{41}+X_{42}+X_{43} \end{matrix}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
As variáveis auxiliares \(N_j\) representam o número de unidades produzidas do produto \(j\). Como \(X_{ij}\) está em litros, calculamos \(N_j\) dividindo o volume total de matérias‑primas usadas no produto \(j\) pelo volume da embalagem correspondente.
Para Limpeza leve a embalagem é de 250 ml (0,25 L), portanto o número de unidades é o volume total em litros dividido por 0,25. Para o produto com detergente inclui o termo do detergente \(X_{4,1}\); no sem detergente esse termo não aparece.
\(N_1=\dfrac{X_{11}+X_{21}+X_{31}+X_{41}}{0,25}\)
\(N_2=\dfrac{X_{12}+X_{22}+X_{32}}{0,25}\)
Para Limpeza pesada a embalagem é de 1 litro, logo o número de unidades é igual ao volume total em litros utilizado em cada produto.
\(N_3=X_{13}+X_{23}+X_{33}+X_{43}\)
\(N_4=X_{14}+X_{24}+X_{34}\)
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