Questão FC236129
Considere o Caso 2 a seguir para responder a questão. CASO 2 A Petrobras vai lançar mais um produto inovador: trata-se do Podium AD, um aditivo que limpa os bicos injetores de moto
Programação Linear
CESGRANRIO · 2010
Considere o Caso 2 a seguir para responder a questão.
CASO 2
A Petrobras vai lançar mais um produto inovador: trata-se do Podium AD, um aditivo que limpa os bicos injetores de motores de automóveis. O Podium AD está disponível no mercado em duas embalagens: limpeza leve (250 ml) e limpeza pesada (1.000 ml), ambas com duas opções de formulação: com ou sem solução detergente, usada para a limpeza do motor como um todo. Para fabricar o Podium AD sem solução detergente, é necessária a combinação de três ingredientes: água destilada, etanol e o aditivo D+. Para o produto com solução detergente, um quarto ingrediente – detergente D+ – é necessário numa proporção de, no mínimo, 3% e, no máximo, 5% por litro de produto. Na sua preparação, não existe perda volumétrica, isto é, a quantidade de litros fabricados é exatamente igual à soma de litros das matérias-primas utilizadas. A quantidade mensal disponível e os custos dos ingredientes são mostrados na Tabela I.
Tabela I
| Matéria-Prima | Quantidade Disponível | Custo por Litro |
| Aditivo D+ | 60.000 litros | R$ 6,00 |
| Etanol | 45.000 litros | R$ 1,90 |
| Água destilada | 80.000 litros | R$ 0,20 |
| Detergente D+ | 40.000 litros | R$ 0,90 |
Existem também custos de fabricação. As máquinas utilizadas no processo apresentam uma capacidade suficiente para suprir a demanda prevista. Existe um custo de produção variável igual a R$ 1,00 por litro de aditivo sem solução detergente e R$ 1,60 por litro de aditivo com solução detergente. A mão de obra é remunerada por produção, tendo um custo de R$ 3,00 por litro de Podium AD, independente do tipo de formulação. Cada embalagem para o produto Limpeza Leve custa R$0,40 e para a Limpeza Pesada, R$0,60.
A administração da Petrobras espera que o produto seja um sucesso de vendas. Através de pesquisas de mercado, foram estimados a demanda e os preços de cada produto que são mostrados na Tabela II.
Tabela II
| Produto | Preço | Demanda de unidades |
| 1 - Limpeza leve com solução detergente | R$ 22,00 | 30.000 |
| 2 - Limpeza leve sem solução detergente | R$ 20,00 | 40.000 |
| 3 - Limpeza pesada com solução detergente | R$ 65,00 | 10.000 |
| 4 - Limpeza pesada sem solução detergente | R$ 60,00 | 15.000 |
Considere que tudo que for produzido será vendido e que as variáveis de decisão e auxiliares na modelagem de um problema de programação linear são as seguintes:
\(X_{ij}=\) quantidade de litros da matéria-prima no produto j
\(N_j=\) nº de unidade do produto produzidos/vendidos
\(Q_i=\) quantidade de litros da matéria-prima utilizados na produção de todos os produtos
\(i= \begin{cases}1- Aditivo \, D+ \\ 2- Etanol \\ 3- Água \, destilada \\ 4- Detegente \, D+ \end{cases}\)
\(j= \begin{cases}1- Limpeza \, Leve \, com \, detergente \\ 2- Limpeza \, Leve \, sem \, detergente \\ 3- Limpeza \, Pesada \, com \, detergente \\ 4- Limpeza\, Pesada \, sem \, detergente \end{cases}\)
O conjunto de inequações que representam as restrições de percentagens mínima e máxima do detergente D+ é dado por
- \(X_{41} \ge 0,0075N_1 \\ X_{41} \le 0,0125 N_1 \\ X_{43} \ge 0,03 N_3 \\ X_{43} \le 0,05N_3\)
- \(X_{41} \ge 0,03N_1 \\ X_{41} \le 0,05N_1 \\ X_{43} \ge 0,03N_3 \\ X_{43} \le 0,05N_3\)
- \(X_{41} \ge 3N_1 \\ X_{41} \le 5N_1 \\ X_{43} \ge 3N_3 \\ X_{43} \le 5N_3\)
- \(0,03X_{41} \ge N_1 \\ 0,05 X_{41} \le N_1 \\ 0,03 X_{43} \ge N_3 \\ 0,05 X_{43} \le N_3\)
- \(0,0075X_{41} \ge N_1 \\ 0,0125 X_{41} \le N_1 \\ 0,03 X_{43} \ge N_3 \\ 0,05 X_{43} \le N_3\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
O coeficiente da restrição vem da exigência de que o detergente D+ represente entre 3% e 5% do volume do produto (por litro). Como não há perda volumétrica, a fração aplica‑se ao volume de cada unidade.
Para Limpeza leve a embalagem tem 0,250 L; assim os limites por unidade são \(0{,}25\cdot0{,}03=0{,}0075\) L e \(0{,}25\cdot0{,}05=0{,}0125\) L. Multiplicando pelo número de unidades \(N_1\) obtêm‑se as restrições sobre o total de litros de detergente usado no produto 1: \(X_{41}\ge0{,}0075N_1\) e \(X_{41}\le0{,}0125N_1\).
Para Limpeza pesada a embalagem é 1 L; os fatores são \(0{,}03\) e \(0{,}05\), dando as restrições para o produto 3: \(X_{43}\ge0{,}03N_3\) e \(X_{43}\le0{,}05N_3\).
Assim as quatro inequações garantem que o volume de detergente por produto fique dentro da faixa percentual exigida.
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