Questão FC236134
Considere o problema de otimização bicritério irrestrito: minimizar \(F(x) = (f_1(x)\), \(f_2(x))\) sujeito a \(x \, ∈ \, R^n\), onde \(f_i:R^n \to R\), \(i=1,2\). Um ponto eficien
Programação Linear
CESGRANRIO · 2010
Considere o problema de otimização bicritério irrestrito: minimizar \(F(x) = (f_1(x)\), \(f_2(x))\) sujeito a \(x \, ∈ \, R^n\), onde \(f_i:R^n \to R\), \(i=1,2\). Um ponto eficiente para F em \(R^n\) é um ponto \(x^* ∈ \, R^n\) tal que não existe \(x \, ∈ R^n\) com \(F(x) \le F(x^*)\) e \(F(x)≠F(x^*)\). Para F continuamente diferenciável, a condição de otimalidade de primeira ordem é dada por
- \(\ddot{x}\) é um ponto crítico se \(f_1( \ddot{x}) \le f_1(x)\) e \(f_2(\ddot{x}) \le f_2(x)\)
- \(\ddot{x}\) é um ponto crítico se \(f_1(\ddot{x}) \ge f_1(x)\) e \(f_2( \ddot{x}) \ge f_2(x)\)
- \(\ddot{x}\) é um ponto crítico se \(∑_i λ_i ∂f_j ( \ddot{x})/∂x_i \ge 0\) para algum j=1,2 e para todo \(λ ∈ R^n\)
- \(\ddot{x}\) é um ponto crítico se \(( ∇ f_1 ( \ddot{x})=0\) e \(∇ f_2(\ddot{x})=0)\) ou \(( ∇f_1(\ddot{x}) \ge 0\) e \(∇f_2(\ddot{x})=0)\)
- \(\ddot{x}\) é um ponto crítico se F é estritamente convexa
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Ponto crítico aqui significa que não existe uma direção de descida comum que reduza ambos os critérios simultaneamente.
Formalmente, isso equivale a afirmar que, para toda direção \( \lambda\in\mathbb{R}^n\), existe um índice \(j\in\{1,2\}\) tal que a derivada direcional de \(f_j\) nessa direção é não negativa: \( \nabla f_j(\bar x)^\top \lambda \ge 0\).
Interpretando: se houvesse alguma direção \(\lambda\) com \( \nabla f_1(\bar x)^\top \lambda<0\) e \( \nabla f_2(\bar x)^\top \lambda<0\), então ambos os objetivos poderiam ser simultaneamente reduzidos e \(\bar x\) não seria eficiente. Logo, a condição dada impede a existência dessa direção, caracterizando a primeira condição de otimalidade no problema bicritério.
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