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Questão FC236142

Qual é a área da região hachurada em destaque?

Outras Questões de Matemática

CESGRANRIO · 2012

 

A figura acima destaca a região limitada pelos gráficos das funções f:  \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) definidas por f(x) = −2x −1 e g(x) = x2 − 4.


Qual é a área da região hachurada em destaque?

  1. \(\frac {86} {3} u.a.\)

  2. \(\frac {32} {3} u.a.\)

  3. \(9 u.a.\)

  4. \(\frac {22} {3} u.a.\)

  5. \(\frac {20} {3} u.a.\)

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Gabarito

B

Comentário do professor

Encontre as **interseções** resolvendo \(x^2-4=-2x-1\), ou seja \(x^2+2x-3=0\), com raízes \(x=-3\) e \(x=1\).

Entre \(-3\) e \(1\) a **função superior** é \(f(x)=-2x-1\) (por exemplo \(f(0)=-1>-4=g(0)\)). Assim a área hachurada é

Área = \(\displaystyle\int_{-3}^{1}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx=\int_{-3}^{1}\big((-2x-1)-(x^2-4)\big)\,dx\)

Ou seja \(\int_{-3}^{1}(-x^2-2x+3)\,dx\). Uma primitiva é \(F(x)=-\tfrac{1}{3}x^3-x^2+3x\).

Calculando: \(F(1)-F(-3)=\tfrac{5}{3}-(-9)=\tfrac{32}{3}\). Portanto a área é \(\tfrac{32}{3}\) u.a.

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