Sejam A, B e C subconjuntos quaisquer de U. Assim considere as seguintes afirmações abaixo: I. A − ( B ∪ C ) = (A −B ) ∩ ( A − C ). II. A − (B ∩ C ) = ( A − B ) ∪ ( A − C). III. Se

Gabarito

D

Comentário do professor

A opção está correta porque as afirmativas I e II são identidades usuais de conjuntos, análogas às leis de De Morgan aplicadas à diferença entre conjuntos.

Para I: \(x\in A-(B\cup C)\) iff \(x\in A\) e \(x\notin B\cup C\), isto é, \(x\in A\) e \(x\notin B\) e \(x\notin C\). Assim \(x\in A-B\) e \(x\in A-C\), logo \(x\in (A-B)\cap(A-C)\).

Para II: \(x\in A-(B\cap C)\) iff \(x\in A\) e \(x\notin B\cap C\), isto é, \(x\in A\) e (\(x\notin B\) ou \(x\notin C\)). Assim \(x\in A-B\) ou \(x\in A-C\), logo \(x\in (A-B)\cup(A-C)\).

Quanto à III, pelo complemento \(A'=U\setminus A\) tem-se \(A\cup A'=U\), não \(∅\), portanto essa afirmativa é falsa. Assim somente I e II são verdadeiras.