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Questão FC261455

Considere os conjuntos \(A, B \ e \ C\), tais que I . \(A\) é infinito e não enumerável; II. \(B\) é finito e \(B ⊂ \mathbb Z\) . III. \(C = \mathbb R - \mathbb Q\) Dentre as opçõe

Conjuntos

IDECAN · 2021

Considere os conjuntos \(A, B \ e \ C\), tais que

 

I . \(A\) é infinito e não enumerável;

 

II. \(B\) é finito e \(B ⊂ \mathbb Z\) .

 

III. \(C = \mathbb R - \mathbb Q\)

 

Dentre as opções a seguir marque a única que apresenta um conjunto não enumerável.

  1. O conjunto \(C ∪ B\).
  2. O conjunto das partes de \(B\).
  3. Um subconjunto finito de \(A\).
  4. O conjunto \((A ∩ B)\), dado que \((A ∩ B) \ne ∅\).
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Gabarito

A

Comentário do professor

O conjunto em questão é \(C \cup B\).

C é o conjunto dos irracionais, isto é, \(C=\mathbb R-\mathbb Q\). É conhecido que o conjunto dos irracionais é não enumerável, pois os reais não são enumeráveis e remover os racionais não reduz essa cardinalidade.

B é finito e \(B\subset\mathbb Z\); todo conjunto finito (ou contável) é enumerável, portanto \(B\) não pode tornar um conjunto finito em não enumerável por si só.

Como \(C\subset C\cup B\) e existe a propriedade: se um conjunto \(Y\) é não enumerável então qualquer conjunto que o contenha também é não enumerável, segue que \(C\cup B\) é não enumerável.

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