Questão FC261456
Dentre as opções, marque a única que apresenta um conjunto não enumerável.
Conjuntos
IDECAN · 2021
Dentre as opções, marque a única que apresenta um conjunto não enumerável.
- \(\mathbb N \times \mathbb N = \{(a,b) \ tal \ que \ a ∈ \mathbb N \ e \ b ∈ \mathbb N\}\)
- \(\mathbb N - P_n = \{ n \ natural \ que \ não \ é \ par\}\)
- \([0,1] = \{ x \ real \ tal \ que \ \le x \le 1\}\)
- \(P_2 = \{p = 2^n|∀ n ∈ \mathbb N\}\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Um conjunto é enumerável se existe uma bijecção entre ele e os números naturais. Para mostrar que \([0,1]\) é não enumerável, usamos o argumento da diagonal de Cantor.
Suponha, por absurdo, que todos os números de \([0,1]\) possam ser listados como \(x_1,x_2,x_3,\dots\), escrevendo cada \(x_n\) em forma decimal \(x_n=0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\dots\).
Construa \(y=0.b_1b_2b_3\dots\) escolhendo \(b_n\) diferente de \(a_{nn}\) (por exemplo, se \(a_{nn}\neq1\) tome \(b_n=1\), caso contrário \(b_n=2\)). Assim \(y\) difere de \(x_n\) na casa decimal \(n\), para todo \(n\).
Logo \(y\) não pertence à lista, contradizendo a suposição. Portanto \([0,1]\) é não enumerável (tem cardinalidade do contínuo).
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