Seja a notação AC como o complementar do conjunto A e conforme os temas relacionados à Teoria dos Conjuntos, assinale a alternativa verdadeira.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A igualdade \( (A\cap B)^C = A^C \cup B^C \) é uma forma da Lei de De Morgan aplicada a conjuntos.

Provamos por análise de elementos: seja \(x\) arbitrário. Se \(x\in (A\cap B)^C\), então \(x\notin A\cap B\), isto é, não ocorre que \(x\in A\) e \(x\in B\) ao mesmo tempo. Logo, \(x\notin A\) ou \(x\notin B\), o que equivale a dizer \(x\in A^C\) ou \(x\in B^C\). Assim \(x\in A^C\cup B^C\).

Reciprocamente, se \(x\in A^C\cup B^C\), então \(x\notin A\) ou \(x\notin B\), o que impede que \(x\) pertença à intersecção \(A\cap B\); portanto \(x\in (A\cap B)^C\).

Como cada elemento de um lado pertence ao outro, os conjuntos são iguais. Intuitivamente, o complemento da intersecção é a união dos complementares: tudo que está fora da região comum está fora de pelo menos um dos conjuntos.