Questão FC261520
Quantas pessoas desse grupo possuem pelo menos um dos tipos de aparelho?
Conjuntos
IDECAN · 2017
Numa pesquisa realizada com um grupo de 200 pessoas sobre qual aparelho: ventilador, climatizador e ar-condicionado possuem em suas residências constatou-se que:
- 80 possuem ventilador;
- 60 possuem climatizador;
- 50 possuem ar-condicionado;
- 30 possuem ventilador e climatizador;
- 24 possuem ventilador e ar-condicionado;
- 20 possuem climatizador e ar-condicionado; e,
- 8 possuem os três tipos de aparelhos.
Quantas pessoas desse grupo possuem pelo menos um dos tipos de aparelho?
- 118.
- 124.
- 132.
- 145.
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Gabarito
B
Comentário do professor
Seja V, C e A os conjuntos dos que têm ventilador, climatizador e ar‑condicionado, respectivamente. Dos dados: \(n(V)=80\), \(n(C)=60\), \(n(A)=50\); \(n(V\cap C)=30\), \(n(V\cap A)=24\), \(n(C\cap A)=20\); e \(n(V\cap C\cap A)=8\).
Aplicamos a fórmula da inclusão‑exclusão para três conjuntos:
\(n(V\cup C\cup A)=n(V)+n(C)+n(A)-n(V\cap C)-n(V\cap A)-n(C\cap A)+n(V\cap C\cap A)\).
Substituindo os valores:
\(n(V\cup C\cup A)=80+60+50-30-24-20+8=124\).
Portanto, **124** pessoas possuem pelo menos um dos aparelhos.
Uma interpretação alternativa: distribui‑se primeiro o grupo dos três (8), ajustam‑se as interseções de dois subtraindo esse 8 e, por fim, somam‑se todas as regiões distintas, chegando ao mesmo total: 124.
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