Questão FC261566
Sejam a, b \(\in \mathbb{Z}\), (a, b, c) significa o MDC (a, b, c), ou seja, máximo divisor comum de “a”, “b” e “c”. Sobre o tema, assinale a alternativa correta.
Conjuntos
IDECAN · 2021
Sejam a, b \(\in \mathbb{Z}\), (a, b, c) significa o MDC (a, b, c), ou seja, máximo divisor comum de “a”, “b” e “c”. Sobre o tema, assinale a alternativa correta.
- Se a|(b.c) e (a, b) = 1, então a|c.
- Se existe (a, b - na), então (a, b) existe e (a, b) = (a, na).
- d é um máximo divisor comum de “a” e “b”, não simultaneamente nulos, se for um divisor comum de “a” e “b”, e se d for múltiplo de todo divisor comum de a e b.
- \((na, nb) = (a, b)^n\), em que \(n \in \mathbb{Z}\).
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Gabarito
A
Comentário do professor
Partindo da hipótese \(a|(b\cdot c)\) e \((a,b)=1\), use-se o teorema de Bézout: existem inteiros \(x,y\) tais que \(ax+by=1\).
Multiplicando por \(c\) obtemos \(acx+bcy=c\).
Por construção, \(a\) divide \(acx\) e, pela hipótese, \(a\) divide \(b\cdot c\), logo também divide \(bcy\).
Como \(a\) divide os dois termos à esquerda, divide sua soma; portanto \(a\) divide \(c\), isto é, \(a|c\).
Em palavras: se \(a\) não compartilha fatores com \(b\) e ainda assim divide o produto \(b\cdot c\), todos os fatores de \(a\) devem aparecer em \(c\).
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