A adição no conjunto Z possui as propriedades comutativa e associativa e é compatível com a relação de ordem. Assinale a alternativa que apresenta uma operação que satisfaz essas p

Gabarito

D

Comentário do professor

A operação escolhida é a multiplicação em \(\mathbb{Z}\). Ela é comutativa, pois para quaisquer \(a,b\in\mathbb{Z}\) vale \(a\cdot b=b\cdot a\) (a ordem dos fatores não altera o produto).

É também associativa: para quaisquer \(a,b,c\in\mathbb{Z}\) temos \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\), o que permite agrupar fatores sem alterar o resultado.

Quanto à compatibilidade com a ordem, a multiplicação preserva desigualdades quando o multiplicador é não negativo: se \(a\le b\) e \(c\ge 0\) (por exemplo \(c\in\mathbb{N}\)), então \(a\cdot c\le b\cdot c\). Exemplo: \(2\le3\) e \(4\ge0\) implicam \(2\cdot4\le3\cdot4\), isto é, \(8\le12\).

Portanto, a multiplicação reúne as três propriedades exigidas no enunciado em \(\mathbb{Z}\) com a ressalva indicada sobre o sinal do multiplicador.