Analise os itens a seguir: I. \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}\) II. \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) III. \(\mathbb{R} \subset \mathbb{Q}\) Assinale a alternativa correta.

Gabarito

D

Comentário do professor

A alternativa D é correta porque as afirmações I e II são verdadeiras.

I. Basta elevar ambos os lados ao quadrado: \({(\sqrt{4+2\sqrt{3}})}^2=4+2\sqrt{3}\) e \({(1+\sqrt{3})}^2=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}\). Como ambos os lados são não negativos, a igualdade \( \sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3} \) é válida.

II. Suponha, por contradição, que \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) com \(p,q\) inteiros primos entre si. Então \(2q^2=p^2\), logo \(p^2\) é par e \(p\) é par; escrevendo \(p=2k\) obtemos \(q^2=2k^2\), então \(q\) também é par — contradição com a redução. Portanto \(\sqrt{2}\) é irracional.