Denotando por d(n) o número de divisores positivos do número natural n, tem-se que d(n) = (\(a_1\) + 1). ... . (\(a_n\)+ 1) e n = \(p_1^{a_1}\).… .\(p_n^{a_n}\), em que \(p_1\),… ,

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos pela fatoração das bases: \(16=2^4\) e \(10=2\cdot5\). Assim, \(n=16^x\cdot10^y=(2^4)^x\cdot(2\cdot5)^y=2^{4x+y}\cdot5^y\).

O número de divisores de \(n\) vem da fórmula \(d(n)=(4x+y+1)(y+1)\). A questão impõe \(d(n)=13\).

Como 13 é primo, o produto de dois naturais que o forma só pode ser \(1\cdot13\). Portanto temos as equações \(y+1=1\) e \(4x+y+1=13\).

Da primeira vem \(y=0\). Substituindo em \(4x+y+1=13\) obtemos \(4x+1=13\), logo \(4x=12\) e \(x=3\).

Conclusão: \(x=3\) e \(y=0\), conforme a alternativa correta.