Questão FC261605
Todos os números não nulos, inteiros ou racionais, podem ser representados na forma de uma dízima periódica. Por exemplo, 12,999… = 13 2,74999… = 2,75 Agora avalie as sentenças que
Conjuntos
IDECAN · 2021
Todos os números não nulos, inteiros ou racionais, podem ser representados na forma de uma dízima periódica. Por exemplo,
12,999… = 13
2,74999… = 2,75
Agora avalie as sentenças que seguem.
I. O conjunto dos números racionais é o conjunto formado pelo zero e por todos os números que têm uma representação na forma de uma dízima periódica.
II. Os conjuntos dos números racionais e irracionais têm a mesma cardinalidade.
III. O conjunto dos números irracionais é enumerável.
Sobre essas sentenças é correto afirmar que:
- Apenas a I é verdadeira.
- Apenas a II é verdadeira.
- Apenas a I e a II são verdadeiras.
- Apenas a II e a III são verdadeiras.
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Gabarito
A
Comentário do professor
A afirmação é verdadeira porque racionais são exatamente os números que têm representação decimal periódica (incluindo as terminantes, que podem ser vistas como periódicas com zeros ou noves).
Todo racional \(q=\dfrac{a}{b}\) gera uma expansão decimal que, após algum ponto, repete um bloco de dígitos — a chamada dízima periódica. Por exemplo, \(12,999\ldots=13\) e \(2,74999\ldots=2,75\).
Reciprocamente, qualquer dízima periódica é racional: se \(x=0.\overline{d}\) com período de comprimento \(k\), então \(10^k x-x\) é inteiro, logo \(x=\dfrac{\text{inteiro}}{10^k-1}\). No caso com parte não periódica de \(m\) dígitos e período de \(n\) dígitos, basta calcular \(10^{m+n}x-10^m x\) para obter uma razão entre inteiros.
Assim, o conjunto dos números racionais coincide com {0} mais todas as representações na forma de dízima periódica.
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