Questão FC261607
Considere os seguintes itens abaixo: I. \({\large{1 \over 2}} \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\), onde \(\mathbb{R}\) é conjunto dos reais e \(\mathbb{Q}\) conjunto dos racionais. II. \
Conjuntos
IDECAN · 2022
Considere os seguintes itens abaixo:
I. \({\large{1 \over 2}} \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\), onde \(\mathbb{R}\) é conjunto dos reais e \(\mathbb{Q}\) conjunto dos racionais.
II. \(\sqrt{4} \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\) onde \(\mathbb{R}\) é conjunto dos reais e \(\mathbb{Q}\) conjunto dos racionais.
III. \(\sqrt{2} \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\) onde \(\mathbb{R}\) é conjunto dos reais e \(\mathbb{Q}\) conjunto dos racionais.
Assinale
- se somente I estiver correto.
- se somente II estiver correto.
- se somente III estiver correto.
- se somente I e II estiver correto.
- se I, II e III estiverem corretos.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
\(\sqrt{2}\) pertence a \(\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) porque é um número irracional.
Uma demonstração clássica por contradição: suponha que \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\) com \(p,q\) inteiros primos entre si e \(q\neq0\).
Elevando ao quadrado obtemos \(p^2=2q^2\), logo \(p^2\) é par, então \(p\) é par; escreva \(p=2k\).
Substituindo, \(4k^2=2q^2\) implica \(q^2=2k^2\), logo \(q\) também é par. Assim \(p\) e \(q\) têm um fator 2 em comum, contradizendo a hipótese de serem primos entre si.
Portanto a suposição de que \(\sqrt{2}\) é racional é falsa, concluindo que \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) (verdadeiro).
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