Qual o valor de \(\frac{x}{y}\), sabendo que \(\frac{3x^2+2y^2}{3x^2-2y^2}=\frac{a}{b}\)?

Gabarito

A

Comentário do professor

Partindo de \( \dfrac{3x^2+2y^2}{3x^2-2y^2}=\dfrac{a}{b} \), multiplicamos em cruz para obter \( (3x^2+2y^2)b=(3x^2-2y^2)a\).

Reorganizando os termos e colocando em evidência os quadrados, chega-se a \(3x^2(a-b)=2y^2(a+b)\).

Dividindo ambos os lados por \(3y^2(a-b)\) (pressupondo \(a\neq b\) e \(y\neq0\)), obtemos \( \dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{2(a+b)}{3(a-b)}\).

Extraindo a raiz quadrada das duas parcelas, temos \( \dfrac{x}{y}=\sqrt{\dfrac{2(a+b)}{3(a-b)}}\), que corresponde à alternativa apresentada.

Observação: para que a expressão seja real, o radicando deve ser não negativo, o que impõe condições sobre \(a\) e \(b\).