Questão FC261643
Na promoção, o cliente que percebesse essa distinção, em relação ao original, do seu guardanapo, recebia uma sobremesa de brinde. Quantas sobremesas, no máximo, esse restaurante of
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
IDECAN · 2021
O logotipo de um restaurante é a palavra ALENTO, com cada letra pintada com uma cor distinta. No esquema a seguir, vê-se o logotipo, com cada cor identificada por um número.
Para uma promoção, produziu-se guardanapos distintos, distinguíveis uns dos outros apenas pelas cores de cada letra da palavra ALENTO. Nesses diferentes guardanapos, as cores nas letras estão reordenadas em relação ao original do logotipo, de modo que nenhuma letra estivesse pintada com a cor original. O esquema a seguir exibe o que pode ser visto em um desses guardanapos.
Na promoção, o cliente que percebesse essa distinção, em relação ao original, do seu guardanapo, recebia uma sobremesa de brinde. Quantas sobremesas, no máximo, esse restaurante ofereceu de brinde?
- 6
- 265
- 720
- 120
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Gabarito
B
Comentário do professor
O problema pede o número de rearranjos das 6 cores tal que nenhuma letra mantenha sua cor original — isto é uma permutação sem ponto fixo (derangement).
O número desses arranjos para \(n\) objetos é dado por \( \,D_n=n!\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}\,.\)
Para \(n=6\):
\(D_6=6!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+\dfrac{1}{6!}\right)\)
\(D_6=720\left(1-1+\tfrac12-\tfrac16+\tfrac1{24}-\tfrac1{120}+\tfrac1{720}\right)\)
\(D_6=720-720+360-120+30-6+1=265\).
Portanto, o máximo de sobremesas oferecidas é 265.
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