A combinação de n + 2 elementos, tomados 4 a 4, é igual ao arranjo de n + 1 elementos, tomados 3 a 3, com �� ∈ ℝ. O valor de n é, portanto:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A fórmula da combinação é \(C_{m,k}=\dfrac{m!}{k!(m-k)!}\). Assim, a combinação de n+2 elementos tomados 4 a 4 vale:

\(C_{n+2,4}=\dfrac{(n+2)!}{4!(n-2)!}=\dfrac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4\cdot3\cdot2}\).

A fórmula do arranjo é \(A_{m,k}=\dfrac{m!}{(m-k)!}\). Então o arranjo de n+1 elementos tomados 3 a 3 é:

\(A_{n+1,3}=\dfrac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\).

Igualamos as expressões dadas pelo enunciado:

\(\dfrac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4\cdot3\cdot2}=(n+1)n(n-1)\).

Como \((n+1)n(n-1)\neq0\) para a solução relevante, podemos cancelar esse fator, obtendo \(\dfrac{n+2}{24}=1\). Logo \(n+2=24\) e, portanto, n=22.