Qual é a quantidade de raízes reais distintas da equação \(x^4 - 4x^2 + y^2 + { \large 4 \over y^2} = 0\)?

Gabarito

A

Comentário do professor

Aplicamos a técnica de completar quadrados: transformamos a expressão em soma de quadrados. Observamos que

\((x^2-2)^2+\left(y-\dfrac{2}{y}\right)^2=0\).

Como cada termo é um quadrado (não negativo), a soma só pode ser zero se **ambos** os quadrados forem zero.

Da primeira igualdade obtém-se \(x^2-2=0\), ou seja, \(x=\pm\sqrt{2}\). Da segunda vem \(y-\dfrac{2}{y}=0\), portanto \(y=\pm\sqrt{2}\).

Logo, os valores distintos de \(x\) que satisfazem a equação são exatamente \(+\sqrt{2}\) e \(-\sqrt{2}\).

Portanto, a quantidade de **raízes reais distintas** (valores de \(x\)) é 2.