Os números positivos x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão r. Assinale a alternativa correta sobre a sequência \(\mathsf{\left (\large{1\over\sqrt{y}~+~\

Gabarito

A

Comentário do professor

Começamos lembrando que \(x,y,z\) formam uma PA de razão \(r\), logo \(y=x+r\) e \(z=x+2r\).

Racionalize cada termo: \(\dfrac{1}{\sqrt y+\sqrt z}=\dfrac{\sqrt y-\sqrt z}{y-z}\), \(\dfrac{1}{\sqrt z+\sqrt x}=\dfrac{\sqrt x-\sqrt z}{x-z}\), \(\dfrac{1}{\sqrt y+\sqrt x}=\dfrac{\sqrt y-\sqrt x}{y-x}\).

Substituindo \(y\) e \(z\) em função de \(x\) e \(r\) obtemos, sobre o mesmo denominador \(2r\), os termos equivalentes:

\(\left(\dfrac{2\sqrt{x+2r}-2\sqrt{x+r}}{2r},\;\dfrac{\sqrt{x+2r}-\sqrt{x}}{2r},\;\dfrac{2\sqrt{x+r}-2\sqrt{x}}{2r}\right)\).

Calcule a diferença entre o segundo e o primeiro e entre o terceiro e o segundo; ambas resultam em \(\dfrac{2\sqrt{x+r}-\sqrt{x+2r}-\sqrt{x}}{2r}\).

Reescrevendo em termos de \(x,y,z\) (onde \(y=x+r\), \(z=x+2r\)) a diferença comum — isto é, a razão da PA formada pela sequência dada — é

\(\dfrac{2\sqrt{y}-\sqrt{z}-\sqrt{x}}{2r}\).