O vigésimo termo de uma progressão aritmética de n termos é igual a 87. Se o primeiro termo dessa sequência é –27 e a soma de todos os termos é igual a 7.128, então o valor de n é:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Dados: a₁ = −27, a₍₂₀₎ = 87 e Sₙ = 7.128. Usamos o termo geral da PA: \(a_{20}=a_1+19r\).

Calculando a razão: \(87=-27+19r\) → \(114=19r\) → \(r=6\).

Com isso, o termo geral é \(a_n=a_1+(n-1)r=-27+6(n-1)=-33+6n\).

Aplicando a fórmula da soma: \(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\). Substituindo,

\(7128=\dfrac{(-27+(-33+6n))\,n}{2}\) → \((-60+6n)n=14256\) → dividindo por 6: \(n^2-10n-2376=0\).

Δ = \(100+9504=9604\), \(\sqrt{Δ}=98\). Logo \(n=\dfrac{10\pm98}{2}\). A solução positiva é \(n=\dfrac{108}{2}=54\).

Portanto, n = 54.