Ana guardou seus brinquedos em caixas para serem doados. Na primeira caixa, ela colocou 5 brinquedos; na segunda caixa, ela colocou 9 brinquedos; na terceira, 13 brinquedos; e assi

Gabarito

D

Comentário do professor

A sequência de brinquedos em cada caixa forma uma PA com primeiro termo \(a_1=5\) e razão \(r=4\) (5, 9, 13, ...). O número de caixas é o número de termos dessa PA, que chamamos de n.

O termo geral é \(a_n=a_1+(n-1)r=5+4(n-1)=4n+1\). A soma dos n termos vale \(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}\). Como \(S_n=434\), substituímos:

\(434=\dfrac{(5+(4n+1))\,n}{2}=\dfrac{(4n+6)\,n}{2}=n(2n+3)\).

Isso dá a equação quadrática \(2n^2+3n-434=0\). Calculando o discriminante: \(\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-434)=3481\) e \(\sqrt{\Delta}=59\).

Aplicando a fórmula de Baskhara: \(n=\dfrac{-3\pm59}{4}\). A solução positiva é \(n=\dfrac{-3+59}{4}=14\). Logo, Ana usou 14 caixas.